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煤球数目

有一堆煤球，堆成三角棱锥形。具体：第一层放1个，第二层3个（排列成三角形），第三层6个（排列成三角形），第四层10个（排列成三角形），……如果一共有100层，共有多少个煤球？

解题思路

每一层的煤球数目形成一个数列，该数列的通项公式为 ( a_i = i(i+1)/2 )。要计算100层的总煤球数目，我们需要对该数列求和。

将数列拆分为 ( a_i = i^2 + i )，因此总和为： [ S = \sum_{i=1}^{100} a_i = \sum_{i=1}^{100} \frac{i^2 + i}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^{100} i^2 + \sum_{i=1}^{100} i \right) ]

利用已知的求和公式： [ \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ]

代入 ( n = 100 )： [ \sum_{i=1}^{100} i = \frac{100 \times 101}{2} = 5050 ] [ \sum_{i=1}^{100} i^2 = \frac{100 \times 101 \times 201}{6} = 338350 ]

因此： [ S = \frac{338350 + 5050}{2} = \frac{343400}{2} = 171700 ]

代码

#include 
   
    
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
void solve() {
    int temp = 0, ans = 0;
    for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
        temp += i;
        ans += temp;
    }
    cout << ans << endl;
}
   

答案

171700

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